순수 전략의 내쉬 균형

목차

 

 

게임 이론은 경제학에서 중요한 역할을 하며, 상호작용하는 여러 의사결정자의 행동을 분석하는 데 사용됩니다. 그중 내쉬 균형(Nash Equilibrium)은 게임 이론에서 핵심적인 개념 중 하나로, 이를 이해하면 사람들이 어떻게 전략적인 결정을 내리는지 알 수 있습니다.

 

내쉬 균형의 개념

내쉬 균형은 게임 이론에서 각 참여자가 자신의 행동을 바꾸지 않는 상태를 뜻합니다. 즉, 각 참여자가 자신의 전략을 최적으로 선택했기 때문에 다른 참여자도 더 나은 선택을 할 수 없는 상황입니다. 이를 쉽게 설명하자면, 다른 사람이 선택한 전략에 따라 내가 선택한 전략이 최적이라면, 그때의 전략 조합이 내쉬 균형입니다.

내쉬 균형에서는 모든 참여자가 최선의 반응을 하고 있다고 말합니다. 이는 참여자가 상대방의 행동을 바꿀 수 없다는 전제하에 자신이 이득을 취할 수 있는 최적의 선택을 했다는 것을 의미합니다.

 

보충 시험의 사례

한 가지 예로 보충 시험 게임을 살펴보겠습니다. 두 학생이 화학 시험을 보지 않고, 친구와 파티를 즐기다가 시험을 놓쳤습니다. 그들은 교수에게 타이어에 펑크가 나서 지각했다고 거짓말을 하고 보충 시험을 요청했습니다. 교수는 이를 수락했지만, 보충 시험에서 묻는 문제는 "어느 타이어가 펑크 났나?"였습니다.

이 상황에서 두 학생은 서로의 답을 일치시켜야만 A 학점을 받을 수 있습니다. 하지만, 두 학생이 서로 다른 타이어를 선택하면 F 학점을 받게 됩니다. 여기서 각각의 선택은 단순한 답변 이상의 전략적 결정이 됩니다. 학생들은 각각 타이어를 선택할 수 있고, 그 선택이 다른 학생의 선택에 영향을 받습니다.

이 예시를 통해 내쉬 균형을 이해할 수 있습니다. 학생들은 상대방이 어떤 타이어를 선택할지 예측하면서 자신도 그에 맞춰 동일한 타이어를 선택해야 합니다. 이때, 두 학생 모두 동일한 타이어를 선택하는 경우가 바로 내쉬 균형입니다. 왜냐하면, 이 상황에서 서로의 선택을 바꾸면 더 나은 결과를 얻을 수 없기 때문입니다.

 

협조 게임: 커피숍 예시

또 다른 예로 커피숍에서 만남을 생각해 봅시다. 두 친구가 정오에 만나기로 했는데, 어느 커피숍에서 만날지 명확하게 정하지 않았습니다. 루시 커피숍(Lucy Coffee)과 크레스트우드 커피숍(Crestwood Coffee) 중 하나에서 만나야 하지만 서로 통신할 방법이 없습니다. 만약 두 친구가 같은 커피숍을 선택하면 만남이 성사되고, 1의 효용을 얻습니다. 하지만 다른 커피숍을 선택하면 0의 효용을 얻게 됩니다.

이 게임의 보상 행렬(payoff matrix)을 그려보면, 두 사람이 루시 커피숍에서 만나거나 크레스트우드 커피숍에서 만나는 경우가 내쉬 균형이 됩니다. 두 사람 모두 다른 사람의 선택을 바꿀 수 없고, 이미 최선의 선택을 했기 때문에 더 이상 전략을 바꾸지 않습니다. 이는 순수 협조 게임(coordination game)의 한 예로, 참여자들이 협력하여 동일한 선택을 할 때 가장 좋은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

이성 간의 싸움: 비순수 협조적 게임

때로는 협조적인 게임에서 서로 다른 선호를 가진 두 사람이 충돌할 수 있습니다. 예를 들어, 이성 간의 싸움에서는 남편과 아내가 각각 선호하는 레스토랑이 다릅니다. 남편은 스테이크 하우스를 선호하고, 아내는 크랩 하우스를 선호합니다. 하지만 둘 다 혼자 식사하는 것보다는 함께 식사하는 것을 더 선호합니다.

이 게임에서 순수 전략 내쉬 균형은 두 개가 있습니다. 남편과 아내가 스테이크 하우스에서 함께 식사하거나, 크랩 하우스에서 함께 식사하는 경우입니다. 그러나 두 사람의 선호는 다르기 때문에 어느 균형을 선택할지 충돌이 발생할 수 있습니다. 이런 게임은 비순수 협조적 게임(impure coordination game)의 한 예로, 각자가 선호하는 균형이 다를 수 있습니다.

 

죄수의 딜레마: 이기적인 선택의 결과

죄수의 딜레마(Prisoner’s Dilemma)는 게임 이론에서 가장 유명한 예입니다. 두 명의 범죄자가 체포되어 각자 자백할지 침묵할지를 선택해야 하는 상황입니다. 두 사람 모두 침묵을 지키면 가벼운 형을 받습니다. 하지만 한 사람이 자백하고 다른 사람이 침묵하면, 자백한 사람은 풀려나고 침묵한 사람은 중형을 받습니다. 두 사람 모두 자백하면 둘 다 중형을 받습니다.

이 상황에서 두 사람 모두 자신의 이익을 추구한다면 결국 서로를 배신하게 됩니다. 이는 내쉬 균형이기도 합니다. 왜냐하면 각자가 상대방의 행동에 따라 최선의 선택을 한 것이기 때문입니다. 그러나 두 사람 모두 배신하는 결과는 최악의 결과를 낳습니다. 협력했다면 더 좋은 결과를 얻을 수 있었겠지만, 서로 배신함으로써 결국 더 나쁜 결과를 초래합니다.

이 예시는 이기적인 선택이 항상 최선의 결과를 가져오지 않는다는 것을 보여줍니다. 특히 군비 경쟁이나 자원 남획과 같은 실제 상황에서도 이와 유사한 결과를 볼 수 있습니다. 각 국가는 다른 국가가 군비를 증강할지 여부와 상관없이 자신도 군비를 늘리고 싶어하지만, 결국 두 국가 모두가 군비 경쟁에 빠지게 되어 자원을 낭비하게 됩니다.

 

협력과 반복 게임

죄수의 딜레마와 같은 상황에서 협력이 가능할지에 대한 질문은 반복 게임에서 다뤄집니다. 만약 이 게임이 반복된다면, 참가자들은 서로 배신하는 것을 처벌할 기회를 갖게 되어 협력이 유지될 가능성이 있습니다. 그러나 무한 반복이 아니라 유한 반복 게임이라면 마지막 라운드에서는 배신이 발생하고, 이를 기반으로 그 이전 라운드에서도 배신이 발생하게 됩니다. 결국 유한 반복 게임에서는 협력이 어렵습니다.

하지만 무한 반복 게임에서는 협력이 지속될 가능성이 큽니다. 배신에 대한 처벌이 언제든지 가능하기 때문에, 참가자들은 장기적인 이익을 위해 협력을 선택할 수 있습니다. 이는 미래의 보상이 충분히 크고 현재의 이익을 적절히 할인하지 않는 상황에서 가능합니다.

 

현실 세계에서의 내쉬 균형

현실 세계에서도 내쉬 균형은 다양한 상황에서 나타납니다. 예를 들어, 국가 간의 군비 경쟁, 기업 간의 가격 경쟁, 그리고 자원 관리에서 과잉 소비 등 많은 실제 사례들이 죄수의 딜레마처럼 작동합니다. 각 참여자는 자신의 이익을 극대화하려 하지만, 그 결과는 모두에게 불리한 결과를 낳습니다.

이러한 딜레마를 해결하는 방법 중 하나는 협약이나 규제를 통해 각 참여자가 협력을 선택할 수 있도록 만드는 것입니다. 이를 통해 사회적 최적의 결과를 얻을 수 있으며, 개별적인 이기심이 전체적으로는 더 나은 결과로 이어질 수 있도록 유도할 수 있습니다.

 

결론

내쉬 균형은 게임 이론에서 핵심 개념으로, 사람들이 전략적인 결정을 내릴 때 그들의 행동이 서로 영향을 미치는 상황을 분석하는 데 매우 유용합니다. 특히 죄수의 딜레마와 같은 게임은 이기적인 선택이 항상 최선의 결과를 낳지 않음을 보여줍니다. 이를 통해 협력의 중요성과 반복 게임의 역할을 이해할 수 있습니다.

내쉬 균형을 이해하면, 우리는 경제적, 사회적, 정치적 상황에서 전략적 결정을 더 잘 이해하고 분석할 수 있습니다.