기댓값: 불확실성 속에서 합리적인 결정을 내리는 방법

 

목차

 

서론

기댓값은 경제학과 의사결정 이론에서 중요한 개념으로, 불확실한 상황에서 합리적인 선택을 하는 데 도움을 줍니다. 기댓값을 이해하고 이를 활용하면, 우리는 불확실한 미래에 대해 좀 더 합리적인 결정을 내릴 수 있습니다. 이 글에서는 기댓값이 무엇인지, 어떻게 계산하는지, 그리고 실생활에서 어떻게 적용되는지에 대해 설명하겠습니다.

 

기댓값의 기본 개념

기댓값은 특정 결과가 발생할 확률과 그 결과의 가치를 곱한 후, 모든 가능한 결과에 대해 이를 더한 값입니다. 이를 통해 불확실한 상황에서 평균적으로 어떤 결과를 기대할 수 있는지를 계산할 수 있습니다.

 

예시: 동전 던지기

간단한 예로 동전 던지기를 생각해봅시다. 공정한 동전을 던져서 앞면이 나오면 10달러를 받고, 뒷면이 나오면 아무것도 받지 않는다고 가정해보겠습니다. 이 경우, 기댓값을 계산해보면 다음과 같습니다.

• 앞면이 나올 확률: 50% (0.5)
• 앞면이 나왔을 때 받을 금액: 10달러
• 뒷면이 나올 확률: 50% (0.5)
• 뒷면이 나왔을 때 받을 금액: 0달러

따라서, 이 도박의 기댓값은 다음과 같습니다.

 

즉, 이 도박을 여러 번 반복할 경우, 평균적으로 5달러를 얻을 것으로 기대할 수 있습니다.

 

복잡한 상황에서의 기댓값 계산

기댓값 개념은 간단한 도박뿐만 아니라 더 복잡한 상황에도 적용할 수 있습니다. 예를 들어, 여러 가지 선택지가 있는 상황에서 각 선택의 기댓값을 비교하여 최선의 결정을 내릴 수 있습니다.

 

예시: 복권

복권을 구매하는 경우를 생각해보겠습니다. 복권에 당첨될 확률이 1/13,983,816이고, 당첨 금액이 100,000달러라고 가정합시다. 이 경우 기댓값을 계산하면 다음과 같습니다.

​

즉, 이 복권의 기댓값은 약 0.71센트로, 장기적으로 볼 때 복권에 투자한 금액 대비 평균적으로 이 정도의 수익을 기대할 수 있다는 의미입니다.

 

의사결정 트리와 기댓값

때로는 여러 가지 선택지가 있을 때, 각 선택에 대한 기댓값을 비교하여 결정을 내릴 수 있습니다. 이를 위해 의사결정 트리를 사용할 수 있습니다.

 

예시: 도박 vs. 확실한 수익

 

그림의 예시에서, 동전을 던져 10달러를 받을 기회와 4달러를 확실하게 받는 선택지 사이에서 고민한다고 가정해보겠습니다.

• 동전 던지기 도박의 기댓값: 5달러
• 확실한 4달러의 기댓값: 4달러

이 경우, 기댓값이 더 높은 도박(5달러)을 선택하는 것이 합리적일 수 있습니다.

하지만, 모든 사람이 항상 기댓값이 더 높은 선택지를 선택하는 것은 아닙니다. 이는 위험 회피 성향이나 개인의 선호도에 따라 다를 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 사람은 확실한 4달러를 선호할 수 있습니다.

 

기댓값의 실생활 적용

기댓값은 카지노나 도박뿐만 아니라 실생활에서도 다양한 방식으로 적용됩니다. 기업의 투자 결정, 정부의 정책 결정, 그리고 개인의 일상적인 선택에서도 기댓값 개념이 활용됩니다.

비용-편익 분석

기댓값 계산은 비용-편익 분석의 핵심입니다. 기업은 새로운 공장 건설, 마케팅 캠페인 시작 등 중요한 결정을 내릴 때 기댓값을 고려하여 기대 수익과 비용을 비교합니다. 정부도 새로운 공공 인프라 프로젝트를 시작할 때 기댓값을 기반으로 결정을 내립니다.

예를 들어, 정부가 새로운 다리를 건설할지 여부를 결정할 때, 다리가 가져올 경제적 이익(예: 교통량 증가로 인한 경제 활동 증가)과 건설 비용을 비교합니다. 이때 기댓값을 계산하여 결정의 타당성을 평가합니다.

 

기댓값의 한계

기댓값은 유용한 도구이지만, 모든 상황에서 완벽한 해결책은 아닙니다. 다음은 기댓값 계산이 어려운 몇 가지 상황입니다.

1. 결과가 금전적 가치로 환산되지 않는 경우

기댓값은 결과를 숫자로 표현할 수 있을 때만 의미가 있습니다. 예를 들어, 인명 손실이나 환경 파괴와 같은 비금전적 가치를 다룰 때는 기댓값 계산이 어려울 수 있습니다.

2. 극단적인 결과

기댓값은 평균적인 결과를 나타내기 때문에 극단적인 결과를 고려하지 못할 수 있습니다. 예를 들어, 한 번의 도박에서 큰 돈을 잃을 가능성이 있지만, 기댓값은 이를 충분히 반영하지 못할 수 있습니다. 이런 경우, 기댓값만을 기준으로 결정을 내리는 것은 위험할 수 있습니다.

3. 개인의 위험 성향

사람들은 각기 다른 위험 성향을 가지고 있습니다. 어떤 사람들은 기댓값이 높은 선택지를 선호하지만, 다른 사람들은 더 안전한 선택을 선호할 수 있습니다. 따라서 기댓값만으로 모든 사람에게 동일한 결정을 권장할 수는 없습니다.

 

법경제학에서의 기댓값

법경제학(Law and Economics) 분야에서는 기댓값 개념을 통해 합리적인 법적 결정을 내리는 데 도움을 줍니다. 예를 들어, 불법 주차에 따른 벌금과 주차 위반 티켓을 받을 확률을 고려하여 사람들이 합법적인 주차를 선택하도록 유도할 수 있습니다.

예를 들어, 불법 주차에 대한 벌금이 30달러이고, 주차 위반 티켓을 받을 확률이 1/6이라고 가정해보겠습니다. 이 경우, 불법 주차의 기댓값은 -5달러로 계산됩니다. 따라서, 사람들이 합법적으로 주차할 동기를 부여할 수 있습니다.

 

상트페테르부르크의 역설

기댓값 계산의 한계를 보여주는 유명한 예로 상트페테르부르크의 역설이 있습니다. 이 역설은 기댓값이 매우 큰 도박이 실제로는 사람들이 기꺼이 지불할 용의가 없는 상황을 설명합니다. 이는 기댓값만으로는 의사결정을 내리는 데 한계가 있음을 보여줍니다.

예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나올 때까지 계속해서 보상을 받는 게임에서, 보상은 2배씩 증가합니다. 이 게임의 기댓값은 무한대이지만, 실제로 사람들이 이 게임에 투자할 의사는 제한적일 수 있습니다. 이는 기댓값 외에도 위험, 보상의 주관적 가치 등을 고려해야 함을 시사합니다.

 

결론

기댓값은 불확실한 상황에서 합리적인 결정을 내리는 데 유용한 도구입니다. 이를 통해 장기적으로 어떤 결과를 기대할 수 있는지 계산할 수 있으며, 이를 바탕으로 최선의 선택을 할 수 있습니다. 그러나 기댓값만으로는 모든 상황에서 완벽한 결정을 내릴 수 없으며, 개인의 위험 성향, 결과의 극단성, 비금전적 가치 등 다양한 요소를 함께 고려해야 합니다.

따라서 기댓값은 중요한 의사결정 도구로 활용될 수 있지만, 현실 세계의 복잡성을 반영하기 위해서는 다른 요인들과 함께 신중하게 고려해야 합니다.