혼합 전략의 내쉬 균형

목차

 

 

게임 이론에서 모든 게임이 순수 전략 내쉬 균형을 갖는 것은 아닙니다. 하지만 그렇다고 해서 내쉬 균형이 존재하지 않는 것은 아닙니다. 혼합 전략이 등장하는 이유는 이러한 게임에서 특정한 상황에서 균형이 존재하지 않을 때, 다양한 전략을 사용함으로써 균형을 찾을 수 있기 때문입니다. 이제 혼합 전략 내쉬 균형을 이해하기 위해 구체적인 사례와 개념을 살펴보겠습니다.

 

혼합 전략 내쉬 균형의 정의

혼합 전략 내쉬 균형이란 플레이어가 특정 전략을 선택하는 것이 아니라 여러 전략을 일정한 확률로 섞어서 사용하는 전략입니다. 각 플레이어는 이 혼합 전략을 통해 자신의 보상을 극대화하려고 합니다. 혼합 전략 내쉬 균형은 게임 이론의 중요한 개념 중 하나로, 모든 유한 게임에서 최소 하나의 내쉬 균형이 존재한다는 것을 보장합니다.

혼합 전략 내쉬 균형은 특히 순수 전략 내쉬 균형이 존재하지 않거나 불안정한 게임에서 유용하게 사용됩니다. 예를 들어, 여러 가지 가능성에 대해 확률을 섞어서 최종 결정을 내리는 경우, 각 전략이 혼합되어 결과적으로 균형을 이루게 됩니다.

 

순수 전략 내쉬 균형이 없는 게임: 커피숍 게임

혼합 전략 내쉬 균형을 이해하기 위해, 커피숍 게임을 다시 살펴보겠습니다. 이 게임에서 플레이어 두 명이 있는데, 한 사람은 전남편을 피하고 싶어하고, 다른 한 사람은 전 배우자를 만나고 싶어합니다. 이 두 사람이 각각 루시 커피숍과 크레스트우드 커피숍 중 어디로 갈지 결정해야 하는데, 전남편과 전 부인은 서로 반대의 목적을 가지고 있습니다.

게임의 보상 구조는 다음과 같습니다.

• 만약 두 사람이 같은 커피숍에 가면 전남편은 1의 보상을 받고, 전 부인은 0의 보상을 받습니다.
• 만약 서로 다른 커피숍에 가면, 전 부인은 1의 보상을 받고, 전남편은 0의 보상을 받습니다.

순수 협조적 게임

 

표에서 이 게임의 보상 행렬을 보면, 순수 전략 내쉬 균형이 존재하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 전 부인이 루시 커피숍에 간다면, 전남편은 루시로 가서 그녀를 만나려고 할 것입니다. 그럼 전 부인은 다시 크레스트우드로 가고 싶어질 것입니다. 이런 식으로 끝없이 전략이 반복되면서 균형이 형성되지 않습니다.

 

혼합 전략 내쉬 균형의 도입

이 게임에서 균형을 이루기 위해, 플레이어들이 혼합 전략을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 각 플레이어가 동전을 던져서 커피숍을 선택한다고 가정할 수 있습니다. 전 부인은 루시와 크레스트우드 중 하나에 갈 확률을 각각 50%로 정하고, 전남편도 동일하게 확률을 나누어 행동합니다.

이렇게 동일한 확률로 전략을 혼합하면, 각 플레이어는 상대방의 선택을 예측할 수 없기 때문에 더 나은 선택을 할 수 없습니다. 이 경우, 두 플레이어는 혼합 전략 내쉬 균형에 도달하게 됩니다. 그 이유는 각 플레이어가 상대방의 전략에 대해 무차별적이기 때문입니다.

 

혼합 전략 균형의 특징

혼합 전략 균형을 찾기 위해서는 각 플레이어가 다른 전략들 사이에서 무차별해야 합니다. 이는 플레이어가 한 전략을 다른 전략보다 더 선호하지 않으며, 여러 전략을 혼합해서 사용하는 것이 유리하다는 것을 의미합니다.

혼합 전략을 사용하는 경우, 각 플레이어는 상대방의 전략을 예측할 수 없으므로 특정 전략을 고정적으로 사용하는 것보다 다양한 전략을 혼합하는 것이 최선입니다. 예를 들어, 이성 간의 싸움과 같은 게임에서도 혼합 전략을 사용할 수 있습니다.

 

이성 간의 싸움에서 혼합 전략 찾기

이성 간의 싸움에서, 두 명의 플레이어가 각각 자신이 선호하는 레스토랑에서 식사하고 싶어하지만, 함께 식사하는 것을 더 선호합니다. 이 게임의 보상 행렬은 표와 같으며, 두 사람 모두 협력을 통해 보상을 극대화할 수 있습니다.

비순수 협조적 게임

 

혼합 전략 균형을 찾기 위해 플레이어가 각각의 전략을 선택할 확률을 설정할 수 있습니다. 예를 들어, 플레이어 1이 레스토랑 A와 B를 선택할 확률을 각각 p와 1-p로 설정하고, 플레이어 2가 레스토랑 C와 D를 선택할 확률을 각각 q와 1-q로 설정합니다.

이 경우, 혼합 전략을 사용하여 두 플레이어는 무차별하게 전략을 선택해야 하므로, 방정식을 세워 균형을 찾을 수 있습니다. 결과적으로 두 플레이어는 혼합 전략을 통해 서로의 전략에 대해 더 나은 선택을 할 수 없게 됩니다.

 

혼합 전략이 중요한 이유

혼합 전략은 이론적으로만 중요한 것이 아니라, 실제 생활에서도 매우 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 스포츠에서 선수들이 매번 같은 전략을 사용할 수는 없습니다. 테니스 경기에서 선수는 상대방이 자신의 전략을 예측하지 못하게 하기 위해 크로스 코트 샷과 다운 더 라인 샷을 적절하게 혼합해야 합니다. 그렇지 않으면 상대방이 그 전략을 예상하고 쉽게 대응할 수 있습니다.

혼합 전략은 상대방의 예측을 어렵게 만들며, 이로 인해 균형 전략이 형성됩니다. 이는 게임에서 균형을 이루는 중요한 방법 중 하나입니다.

 

내쉬의 정리: 모든 유한 게임에서 내쉬 균형이 존재

존 내쉬는 모든 유한 게임에서 내쉬 균형이 존재한다는 정리를 증명했습니다. 이는 모든 플레이어가 유한한 수의 전략을 가지고 있는 게임에서, 최소 하나의 내쉬 균형이 존재한다는 것을 보장합니다. 이 내쉬 균형은 순수 전략일 수도 있고, 혼합 전략일 수도 있습니다.

 

내쉬 균형 찾기의 중요성

내쉬의 정리는 게임 이론에서 중요한 전환점을 이뤘습니다. 이는 어떤 게임이든지 간에 적어도 하나의 균형이 존재함을 의미하며, 그 균형이 무엇인지 찾는 것이 게임 이론의 중요한 과제 중 하나입니다.

체스와 같은 복잡한 게임에서도 내쉬 균형이 존재하지만, 이를 찾는 것은 매우 어렵습니다. 하지만 이 정리는 모든 게임이 균형을 가진다는 보장을 제공하므로, 복잡한 게임에서도 내쉬 균형을 찾는 것이 헛된 일이 아니라는 것을 알려줍니다.

 

혼합 전략의 실제 예시

혼합 전략은 일상생활에서도 많은 사례에서 볼 수 있습니다. 예를 들어, 가위바위보 게임에서도 내쉬 균형을 찾을 수 있습니다. 이 게임에서 각 플레이어는 가위, 바위, 보를 각각 1/3의 확률로 선택하는 것이 유일한 내쉬 균형입니다. 이는 플레이어들이 서로를 예측할 수 없도록 전략을 혼합함으로써 얻는 균형입니다.

또한, 스포츠 경기나 비즈니스 경쟁에서도 혼합 전략은 중요한 역할을 합니다. 매번 같은 전략을 사용하는 것은 상대방에게 예측당할 가능성을 높이므로, 혼합 전략을 통해 상대방의 예측을 어렵게 만들고 균형을 유지하는 것이 중요합니다.

 

결론

혼합 전략 내쉬 균형은 게임 이론에서 중요한 개념 중 하나로, 모든 유한 게임에서 최소 하나의 내쉬 균형이 존재함을 보장합니다. 순수 전략 내쉬 균형이 존재하지 않는 경우에도, 혼합 전략을 통해 균형을 찾을 수 있으며, 이는 다양한 상황에서 유용하게 적용됩니다.

게임 이론은 단순히 학문적인 분석뿐만 아니라, 실제 생활에서도 중요한 전략적 의사결정에 적용될 수 있는 강력한 도구입니다. 혼합 전략은 특히 경쟁적인 환경에서 상대방의 예측을 어렵게 만들고 균형을 유지하는 데 중요한 역할을 합니다.