베이지안 업데이트: 새로운 증거를 통한 믿음의 변화

목차

 

베이즈의 법칙 개요

베이즈의 법칙은 새로운 증거가 주어졌을 때 우리의 믿음을 어떻게 업데이트해야 하는지를 보여주는 중요한 도구입니다. 이 법칙은 일상생활과 과학 연구에서 매우 유용하게 사용됩니다. 예를 들어, 특정 대선 후보가 선거에서 승리할 가능성을 여론조사 결과나 대선 토론회에서의 성과를 기반으로 업데이트할 수 있습니다. 과학에서는 실험 결과나 현장 연구 데이터를 통해 가설의 타당성을 평가합니다. 이러한 과정은 베이즈의 법칙을 통해 이루어지며, 이를 베이지안 업데이트라고 합니다.

 

베이즈의 법칙 정의

베이즈의 법칙을 통해 새로운 증거가 주어졌을 때 가설의 확률을 업데이트할 수 있습니다. 이를 이해하기 위해 다음과 같은 예시를 살펴보겠습니다.

 

예시: 동전 던지기

철수와 영희는 학생이 교실에 가져온 동전이 두 개의 앞면을 가지고 있는지 아니면 공정한지에 대해 논쟁하고 있습니다. 이 동전이 두 개의 앞면을 가지고 있다는 가설을 H라고 하고, 공정한 동전이라는 가설을 ￢H라고 합시다.

 

초기 확률 (사전확률)

철수는 동전이 두 개의 앞면을 가질 가능성을 낮게 봅니다. 즉, 그의 사전확률 Pr(H)는 0.01입니다. 공정한 동전일 가능성은 Pr(￢H) = 0.99입니다.

 

첫 번째 증거

동전을 던졌을 때 앞면이 나왔다고 가정해봅시다. 이 결과를 E라고 합시다. 베이즈의 법칙을 사용하여 E가 주어졌을 때 H의 사후확률 Pr(H|E)를 계산할 수 있습니다. 이를 위해 다음과 같은 조건부 확률을 사용합니다.

• Pr(E|H) = 1 (동전이 두 개의 앞면을 가지고 있다면 항상 앞면이 나옵니다)
• Pr(E|￢H) = 0.5 (공정한 동전이라면 앞면이 나올 확률은 50%)

 

이제 베이즈의 법칙을 적용하여 계산해봅시다:

 

이 결과는 동전이 두 개의 앞면을 가질 확률이 앞면이 나온 후 1.98%로 증가했음을 보여줍니다.

 

두 번째 증거

이제 두 번째로 동전을 던져 다시 앞면이 나왔다고 가정해봅시다. 이전 사후확률을 새로운 사전확률로 사용하여 다시 베이즈의 법칙을 적용합니다.

• 새로운 사전확률 Pr(H) = 0.0198
• Pr(￢H) = 1 - 0.0198 = 0.9802

다시 조건부 확률을 사용하여 계산해봅시다: 

 

이 결과는 두 번째로 앞면이 나온 후 동전이 두 개의 앞면을 가질 확률이 3.88%로 증가했음을 보여줍니다.

 

반복 시행 후의 확률

동전 던지기를 반복할수록, 베이즈의 법칙을 사용하여 철수와 영희는 동전이 두 개의 앞면을 가질 확률을 점점 더 높게 업데이트할 수 있습니다. 시간이 지남에 따라 그들은 동전이 두 개의 앞면을 가질 확률이 거의 100%에 도달한다는 것을 알게 될 것입니다.

 

결론

베이즈 법칙은 새로운 증거가 주어졌을 때 우리의 믿음을 어떻게 업데이트해야 하는지를 보여주는 매우 유용한 도구입니다. 이를 통해 우리는 보다 정확한 의사결정을 내릴 수 있으며, 다양한 분야에서 이를 활용할 수 있습니다. 이 글에서는 동전 던지기 예시와 다양한 실생활 적용 사례를 통해 베이즈 법칙의 개념을 설명했습니다. 이를 통해 베이즈 법칙의 중요성과 유용성을 이해할 수 있을 것입니다.