무조건부 확률

확률 이론은 이미 알려진 확률을 바탕으로 새로운 확률을 계산할 수 있도록 합니다. 이 절에서는 이러한 계산을 수행하는 데 필요한 네 가지 기본 법칙에 대해 알아보겠습니다.

OR 법칙 (덧셈 법칙)

공리 : OR 법칙

두 결과 A와 B가 상호배타적일 때, A 또는 B가 발생할 확률은 A의 확률과 B의 확률을 더한 것과 같습니다. 즉, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 입니다.

예시

공정한 6면 주사위를 굴릴 때 1 또는 2가 나올 확률을 계산해보겠습니다. OR 법칙에 따르면, 이 확률은 Pr(1) + Pr(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3 입니다. 또 다른 예로, 동전을 던질 때 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 Pr(앞면) + Pr(뒷면) = 1/2 + 1/2 = 1 입니다.

이 법칙에서 중요한 점은 두 결과가 상호배타적이어야 한다는 것입니다. 상호배타적이란 두 결과 중 하나만 발생할 수 있다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 주사위를 굴릴 때 1과 2는 동시에 나올 수 없으므로 상호배타적입니다.

상호배타성의 중요성

상호배타성의 중요성은 예를 들어 설명할 수 있습니다. 공정한 주사위를 굴려서 6보다 작거나 1보다 큰 숫자가 나올 확률을 계산해보겠습니다. 이 두 사건은 모두 발생할 수 있으므로 상호배타적이지 않습니다. OR 법칙을 적용하면 Pr(6보다 작거나 1보다 큼) = Pr(1, 2, 3, 4, 5, 6) = 1이 됩니다.

전체 확률의 법칙

공리 : 전체 확률의 법칙

전체 결과 공간의 확률은 항상 1입니다. 즉, P(S) = 1 입니다.

예시

6면 주사위를 굴릴 때 모든 가능한 결과(1, 2, 3, 4, 5, 6)의 확률을 더하면 1이 됩니다. 이는 Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) + Pr(4) + Pr(5) + Pr(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 입니다.

NOT 법칙

공리 : NOT 법칙

어떤 결과 A가 발생하지 않을 확률은 1에서 그 결과가 발생할 확률을 뺀 값입니다. 즉, P(A') = 1 - P(A) 입니다.

예시

6면 주사위를 굴릴 때 6이 나오지 않을 확률을 계산해보겠습니다. NOT 법칙에 따르면, Pr(6이 나오지 않음) = 1 - Pr(6) = 1 - 1/6 = 5/6 입니다.

AND 법칙 (곱셈 법칙)

공리 : AND 법칙

두 결과 A와 B가 독립적일 때, A와 B가 동시에 발생할 확률은 A의 확률과 B의 확률을 곱한 값과 같습니다. 즉, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 입니다.

예시

동전을 두 번 던질 때 두 번 모두 앞면이 나올 확률을 계산해보겠습니다. AND 법칙에 따르면, Pr(앞면 ∩ 앞면) = Pr(앞면) * Pr(앞면) = 1/2 * 1/2 = 1/4 입니다. 또 다른 예로, 공정한 주사위를 두 번 굴릴 때 두 번 모두 6이 나올 확률은 Pr(6 ∩ 6) = Pr(6) * Pr(6) = 1/6 * 1/6 = 1/36 입니다.

독립성의 중요성

AND 법칙에서 두 결과가 독립적이어야 한다는 조건은 매우 중요합니다. 두 결과가 독립적이라는 것은 한 결과가 발생할 확률이 다른 결과의 발생 여부에 영향을 받지 않는다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 주사위를 굴려서 2와 3이 동시에 나올 확률은 0입니다. 이 경우, 두 결과는 상호배타적이기 때문에 독립적이지 않습니다.

결합 오류

예를 들어, 어떤 사람이 페미니스트이면서 은행원일 확률을 계산할 때, 두 사건이 독립적이라고 가정하면 Pr(페미니스트 ∩ 은행원) = Pr(페미니스트) * Pr(은행원) 입니다. 하지만 실제로는 페미니스트가 은행원일 확률이 더 낮을 수 있습니다. 이와 같은 오류를 결합 오류(conjunction fallacy)라고 합니다.

예시

영희가 페미니스트이면서 은행원일 확률을 계산해보겠습니다. Pr(페미니스트 ∩ 은행원) = Pr(페미니스트) * Pr(은행원) 입니다. 만약 Pr(페미니스트)가 0.3이고 Pr(은행원)이 0.5라면, Pr(페미니스트 ∩ 은행원) = 0.3 * 0.5 = 0.15 입니다. 이는 영희가 은행원일 확률보다 낮습니다.