확률 이론 기초: 이해하기 쉽게 설명하는 확률 판단

목차

 

 

개요

확률 이론은 우리 일상에서 다양한 결정과 판단에 큰 영향을 미칩니다. 이 글에서는 확률 판단의 기초를 이해하기 쉽게 설명하고, 이를 통해 일상적인 문제 해결에 도움을 주고자 합니다.

 

확률 판단의 두 가지 예

예 1: 존스 부인의 두 아이

당신이 새로운 이웃인 존스 부인을 방문했습니다. 존스 부인은 두 명의 아이들이 있다고 말합니다. 아이가 딸일 확률과 아들일 확률이 동일하며, 첫 번째 아이가 딸인지 아들인지는 두 번째 아이의 성별과 무관하다고 가정합니다. 존스 부인은 적어도 한 명의 아이가 여자라고 말했습니다. 다른 아이도 여자일 확률은 얼마일까요?

 

예 2: 린다의 직업

린다는 31세이며 독신이고 매우 총명합니다. 그녀는 철학을 전공했고, 학생 시절에 사회 정의와 차별 문제에 깊이 관심을 가졌습니다. 그녀는 반핵 시위에도 참여했습니다.

• (a) 린다가 은행 창구 직원일 확률은 얼마나 될까요?
• (b) 린다가 은행원이자 페미니스트일 확률은 얼마나 될까요?

이 질문들은 확률 이론을 이해하는 데 중요한 도구가 됩니다.

 

확률 이론의 기초 개념

확률 이론을 이해하기 위해 몇 가지 기본 개념을 알아야 합니다.

 

결과 공간

결과 공간은 가능한 모든 개별 결과의 집합을 의미합니다. 예를 들어, 동전을 던지면 앞면(H) 또는 뒷면(T)이 나올 수 있고, 6면 주사위를 굴리면 1부터 6까지의 숫자가 나올 수 있습니다. 결과 공간은 중괄호와 쉼표를 사용하여 표현합니다.

• 동전 던지기: {H, T}
• 6면 주사위: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

결과

결과는 결과 공간의 부분집합입니다. 예를 들어, 주사위를 굴려 짝수(2, 4, 6)가 나오는 경우를 결과로 정의할 수 있습니다. 이를 표현하기 위해 중괄호를 사용합니다.

• 짝수: {2, 4, 6}

 

확률

확률 함수는 각 결과에 실수를 할당하는 함수입니다. 예를 들어, 주사위를 굴려 짝수가 나올 확률은 Pr({2, 4, 6})으로 표시됩니다. 확률은 0에서 1 사이의 값을 가지며, 0은 불가능, 1은 확실을 의미합니다.

 

확률의 법칙

공리 1: 확률의 범위

결과 A의 확률은 0과 1 사이의 수입니다. 즉, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1 입니다. 이는 확률이 항상 0% 이상 100% 이하임을 의미합니다.

 

공리 2: 동일 확률 법칙

동일한 확률을 가지는 개별 결과 {A1, A2, ..., An}가 있다면, 하나의 개별 결과 Ai의 확률은 1/n입니다. 예를 들어, 공정한 주사위를 굴릴 때 4가 나올 확률은 1/6입니다. 즉, Pr(4) = 1/6 입니다.

 

실생활 예제 분석

예 1: 존스 부인의 두 아이

두 명의 아이를 갖는 경우의 결과 공간은 {GG, GB, BG, BB} 입니다. 여기서 G는 여자아이, B는 남자아이를 의미합니다. 적어도 한 명이 여자아이일 때, 결과 공간은 {GG, GB, BG}로 축소됩니다. 이 중 GG만 두 명 모두 여자아이이므로 확률은 1/3입니다.

 

예 2: 린다의 직업

린다가 은행 창구 직원일 확률을 계산할 때, 우리는 린다가 은행원이자 페미니스트일 확률과 비교해야 합니다. 두 사건의 확률을 비교하여 논리적 판단을 도출할 수 있습니다.

 

연습 문제

몬티 홀 문제

게임쇼에서 세 개의 문 중 하나를 선택할 수 있습니다. 한 문 뒤에는 차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다.

1. 당신이 한 문을 선택합니다.
2. 호스트는 나머지 두 문 중 하나를 엽니다(염소가 있는 문).
3. 당신은 선택한 문을 유지하거나 바꿀 수 있습니다.

선택을 바꾸지 않을 때 차를 찾을 확률은 얼마일까요?

 

결론

확률 이론은 우리의 일상적인 결정과 판단에 큰 도움을 줍니다. 이 글에서 다룬 개념들과 예제들을 통해 확률 이론의 기초를 이해하고, 이를 통해 보다 합리적인 결정을 내릴 수 있기를 바랍니다.